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【暗記しない数学】面積と関連付けて考える平方完成

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高校1年生ででてくる平方完成.

式変形は出来るけどよくわからなかったって人も多いのではないでしょうか.

英語で言うと,Completing the Squareです.

Squareは平方という意味なので,平方を完成させるということになるんですが,Squareにはもう一つ,「正方形」という意味もあります.

つまり,平方完成 Completing the Squareは,正方形を完成させる作業とも言いかえられますね.

ということで,今回は正方形を使って理解する平方完成を書いてみようと思います.

平方完成とは?

正方形を使って平方完成を考えて見る前に,平方完成がどんなものだったかを一回考えてみましょう.

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こんな感じに,2乗+定数の形に直すものが平方完成です.

平方完成の図形的イメージ

では,この式を図形的に表現することを考えてみます.

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 x^2+2xを正方形と長方形の面積として扱います.

さて,これを平方完成ならぬ正方形完成してみます.

現在,長方形の形になっているので,正方形に近づけるため,縦と横の長さを揃えてみます.

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ちょっとボコッと穴が開いているので,小さな正方形を勝手に作って埋め込んであげれば大きな正方形になります.

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さて,面積は少し変わってしまいましたが,これで正方形を作ることが出来ました.

この正方形,1辺の長さが x+1で,面積が16なので,式で表すと (x+1)^2 = 16となります.

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平方完成すると式が扱いやすくなります.

二次関数の外形を簡単にかけたり,2次方程式を解くのが楽になります.

例えば,元の長方形だと,xの長さを求めるのはめんどくさかったですが,一旦正方形に直してしまえば簡単にxは求められます.

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平方完成する時の思考

この考えを使うと,平方完成する時自然にできます.

頭のなかで長方形を想像して,余った分を引けばいいわけですね.

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慣れればこんなのは一瞬で,こんなことを考える必要もないわけですが.

平方完成とか,問題集とかを解いていてもなんでいきなり二乗がでてきたのかがわかりにくい時がありますが,図解すると単純に正方形を作っていただけなんですね.

© 2016 Yuki Sako.